就在刚刚，千禧年大奖难题——庞加莱猜想的完整证明，被成功编码化！

完成这一壮举的，是一个仅由四人组成的团队。

领头的是丘成桐的学生，一位在Ricci流领域深耕数十年的老教授，冲在最前线的是一名刚本科毕业的学生，而身后则是全天候运转的AI集群。

他们利用证明助手Lean，将Hamilton与佩雷尔曼的证明从头至尾编写完毕，总计约470万行代码。

其中，大约270万行是在最后两周内，借助ChatGPT、Claude等AI工具突击完成的。

这470万行代码已全部通过Lean内核的检验，没有一个地方用“sorry”标记留待日后补充。

过去，一个重大证明要让数学界认可“没问题”，需要同行花费数年时间逐页审查。

这一次，裁决权交给了机器，而证明撰写的主力也变成了AI。

佩雷尔曼的毕生心血，竟只占六分之一

我们将整个代码仓库下载下来，沿着最终的庞加莱定理，找出了所有直接或间接引用的代码。

实际涉及的有14197个代码文件，约402万行，最长的一条引用链串联起了353个文件。

其中，对应佩雷尔曼三篇论文的代码合计约66万行，仅占六分之一。

论文写得越简略，在Lean中需要补充的代码就越多。篇幅为7页的第三篇论文，平均每页对应1.4万行代码。

第三篇论文中仅用一句话提及的曲线缩短流——即让一条曲线在缩短的同时变圆——在Lean里就写了7.6万行。

剩下的六分之五，全是佩雷尔曼在论文中默认“读者早已掌握”的基础数学知识。其中分析学约109万行，微分几何约77万行。

Ricci流是佩雷尔曼证明的核心工具，它能使空间中曲率大的区域逐渐变得平缓，原理与热传导类似。

短时存在性就是一个典型例子。它表明，给定任意初始形状，Ricci流至少能向前流动一小段，论文中只需引用前人的结论即可。

然而，Ricci流方程在不同坐标系下描述时，形式会发生变化，因此不能被直接视为标准的热方程。

1983年，DeTurck想出了一个办法：先在方程中添加一项，将其改造为标准热方程，求解后再转换回去。

在Lean中，这个方法背后的Sobolev空间、谱理论等工具都必须从零开始构建。仅这一个定理，就需要用到89万行代码。

佩雷尔曼的杀手锏，是典范邻域定理。

该定理指出，在Ricci流中，曲率即将趋于无穷大的区域，其形状必定是规则的。

要么是一段细长的圆管，称为“颈”；要么是圆管一端封闭，称为“帽”。

证明这一个定理，就需要用到272万行代码，占据了整个依赖链的三分之二。

一老一少背后，是AI在管理AI

领头的Ben Chow是加州大学圣迭戈分校（UCSD）的数学教授。1986年，他在普林斯顿大学获得博士学位，导师正是丘成桐。

Hamilton提出Ricci流后不久，丘成桐就向他指出，这个流会在空间狭窄处将其勒断，这很可能就是证明的第一步。Hamilton后来专门回忆过此事。

Ben Chow后来与Hamilton合著过论文，并撰写了一套完整的Ricci流专著，在这个方向上钻研了几十年。

当年力挺Ricci流这条路的是丘成桐，四十年后，带队将这条路线上的证明完整写入计算机的，是他的学生。

2025年秋天，这位几何学老将与同行办起了Lean线上学习班，像初学者一样从头学习这门新工具。他的个人主页上至今还挂着一个栏目，标题叫“我的一些幼稚想法”。

那时，Mathlib连黎曼几何最基础的工具都还不齐全。

于是，Chow、Ziyang Qin和UCSD的博士生Yuan Liao花了七个月时间，先编写了约200万行的基础代码。

那个冲在最前面的本科生，就是Ziyang Qin。他今年5月才从康奈尔大学毕业，博士都还没开始读。在代码仓库里，一万一千多次提交中，有7477次都挂在他的名下。

9月，普林斯顿大学的Ayush Khaitan带着拓扑工具加入，四人一起完成了最后两周的冲刺。

至于具体使用了哪些AI，Khaitan透露了底细：主力是ChatGPT Astra，部分难啃的章节则交给了Claude Fable。

按照团队开源的工具包，AI这边最上层的是“领队”，也就是研究者直接对话的主会话。它不直接编写证明，只负责守住数学路线。

领队之下，有一个长期在后台运行的“调度”智能体，负责拆分任务、分配任务和验收。真正动手写证明、挑错、查资料的，是一批干完一件活就退出的临时智能体。

人类作者站在整个系统的最顶端，负责选择定义、确定命题，并确认Lean中证明出来的，正是数学家想要证明的东西。

冲刺阶段，团队正按照拓扑学家Moise在1977年出版的一本教科书，逐节编写拓扑部分。

9月20日一早，Claude Fable 5.1以领队身份写了一份任务分配单，将这部分拆解成四条并行的任务线，交给OpenAI的编程智能体Codex。

每条任务线只能修改自己名下的文件，完成后提交清单，由Claude验收后再正式提交。

最关键的一条原则是：绝不能为了能证明出来而削弱命题。如果发现命题是假的，也算成功，只需给出反例并停止报告。

到了晚上，领队重新排了一张计划表。按3到4条任务线并行估算，书里“公认最难”的那几节需要6到10周，走到拓扑版本的庞加莱猜想最快也要4个多月。

半小时后，人类负责人决定换一种方法：先搭骨架。

也就是先把整段证明的结构搭建出来，暂时无法证明的步骤先用“sorry”占位，这样可以让接口对不上的问题提前暴露出来。然后再把占位的命题逐个审核、定稿、证明出来。

这些骨架文件单独存放，不进主库，因此最终成品中依然没有一个“sorry”。

9月23日，Ben Chow那边证明出了第32节里的三块内容，负责验收的是Claude领队。编译、审计全部零报错之后，这位带过16个博士的老教授提交的成果才被收入主库。

第二天，书中从25.2到34.1的一串定理全部证明完毕。美东时间9月27日凌晨3点38分，拓扑版本的庞加莱猜想被证明，距离那张计划表排出来还不到一周。

缝合了一个世纪的“手术”

回到庞加莱猜想本身。

它是庞加莱在1904年提出的：在一个有限、封闭的三维空间中，如果任何一根绳圈都能收缩成一个点，那么它就是一个三维球面。

这道题拖了将近一百年。更高维度的版本早早被攻克，偏偏三维版本一直难以解决。

直到2002年底到2003年，佩雷尔曼在arXiv上连续发表三篇论文，用Ricci流打破了僵局。

Ricci流的思路是把空间一路熨平。如果一个空间能这样被熨成处处一样圆，那么它就是一个球面，猜想也就证明完毕了。

麻烦在于，空间不一定乖乖地变圆。

想象一个哑铃：两头是两个大球，中间连着一根细杆。

Ricci流一启动，细杆会越来越细，在有限的时间里“啪”地一下被勒断。勒断那一点的曲率会趋于无穷大，数学上称为“奇点”。

Hamilton在这一步上卡了很多年。佩雷尔曼手里多了一条典范邻域定理，他知道快要出问题的地方只能是“颈”或“帽”，于是掏出了手术刀。

做法是：在细管快要被勒断之前，从颈部中间剪开，把快要出事的那一小段扔掉。

然后给两个断口各缝上一个标准形状的帽子，让Ricci流继续流动。

佩雷尔曼在第三篇论文中又证明，对于单连通空间来说，这样流一段、做一次手术、再接着流，整个空间会在有限时间内缩到消失。

消失的每一块都是三维球面，按剪开的位置粘回去，得到的还是三维球面。

这三篇论文中，很多关键步骤只写了结论。直到2006年，几组数学家先后写出几百页的详细版本，数学界才确认这份证明站得住脚。

在这次的代码仓库里，前面那402万行代码，最后都是为一个只有23行的文件服务的。

该文件中的定理正是庞加莱猜想：任何紧致、单连通、没有边界的三维拓扑流形，都和三维球面同胚。

Ricci流只能在光滑的空间上运行，因此还需要Moise定理来搭建一座桥梁。

Moise在1952年证明，每个三维拓扑流形都能切成一块块小四面体拼起来，再把拼接处处理光滑，从而获得光滑结构。

那23行代码的后半部分，做的就是“先修桥、再过河”：先用Moise定理获得光滑结构，再调用光滑版本的庞加莱猜想。

Moise这座桥比手术部分还要费力。负责它的PL拓扑代码（即用小块拼接的方法研究空间的代码）有46万行，比手术部分多出将近一倍。

有数学家发帖询问，最后那几行能不能直接一行调用光滑版本的庞加莱猜想就完事。

Khaitan回答说，参数C和hC省不了，因为Lean必须先确认这个流形有一套光滑的坐标。这两个参数，正是从Moise定理中得来的。

千禧年难题的终结，也是下一场革命的开始

一年前，自动形式化智能体Gauss花三周时间写了2.5万行代码，就已经是大新闻。

这一次，四个人加一群AI，两周写出的代码量是它的100多倍。

斯坦福大学数学家Jared Duker Lichtman转发时，连打了两个感叹号。

这支小队的协作模式，几乎就是未来数学研究的雏形。老将确定方向，年轻人带着AI一行行写代码，对错最后由Lean的内核判定。

人类数学家的精力，正在从一步步写证明，转向判断该证明什么，以及揪出AI写错的地方。

按照这个势头，下一次AI协助拿下的，可能就是一道至今无人能证明的难题。

参考资料： https://x.com/ayushkhaitan343/status/2104289939840176167 https://github.com/qinz1yang/differential-geometry https://github.com/qinz1yang/differential-geometry/pull/80 https://arxiv.org/abs/2608.21502 https://github.com/qinz1yang/auto-formalizing-skills https://mathweb.ucsd.edu/~bechow/LeanOnMe/ https://x.com/keithadler/status/2104340829401980938 https://www.math.inc/gauss 本文来自微信公众号 “新智元”（ID：AI_era），作者：ASI启示录，36氪经授权发布。

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